标记价格与希腊值

标记价格 (mark price) 是出于风险管理的目的，对期货价格和期权价格的一个公允估计值。合理的标记价格是计算保证金的必备要素之一，该值会随着市场波动不断更新以更好地反映市场风险水平。

期货标记价格

根据期货定价理论，定义到期日为 $T$ 的期货标记价格 (future mark price) 为：

$$F^T_t=\hat{S}^T_t \cdot e^{ABR(T) \cdot (T-t)}$$

其中，$t$ 为当前时间，$ABR(T)$ 为到期时间为 $T$ 的期货合约的年化基差率 (annualized basis rate)，$\hat{S}^T_t$ 为对应期限标的的代理指数价格 (proxy index price，详见附录)。

年化基差率

我们取 Deribit 不同期限期货交割合约的最新价格数据 $\left\{(T_i,F_t^{T_i})\right\}_{i=1,2,...,n}$，反算得到不同期限的 $ABR(T_i)$：

$$ABR(T_i) = \frac{1}{T_i-t}\log(\frac{F_t^{T_i}}{S_t^D})$$

其中，$S_t^D$ 为对应 Deribit 的指数价格。通过对这些数据进行插值处理，我们便能得到任何给定到期日 $T$ 对应的期货合约的年化基差率 $ABR$。

期权标记价格

期权波动率与波动率曲面

在期权定价中，波动率是最核心的要素。Black-Scholes 模型假设资产价格遵循恒定波动率的几何布朗运动，但实际市场波动率会随行权价和到期时间变化。拟合波动率曲面能够更好的避免严格套利同时揭示定价偏误，有助于做市商纠正报价减少风险敞口。

我们采用 SVI 模型拟合场内交易所的隐含波动率曲面。对于具有相同到期日 $T$ 的一系列期权，给定一组待定参数集合 $\chi_R=\left\{a,b,\rho,m,\sigma \right\}$，假设行权价 $K$ 期权对应的总隐含方差符合以下公式：

$$\omega(k; \chi_R) = a + b \left[ \rho(k - m) + \sqrt{(k - m)^2 + \sigma^2} \right]$$

简记为$\omega(k)$，则隐含波动率 $IV(K,T)$为：

$$IV(K,T)=\sqrt{\frac{\omega(k)}{T-t}}$$

其中，$t$ 为当前时间，$k=log(K/F_t^T)$ 为行权价 $K$ 的对数转换，表示对数在值程度。

我们获取 Deribit 虚值期权不同行权价$K$对应的隐含波动率数据 $\left\{(K_i,v_i)\right\}_{i=1,2,...,n}$，$F_t^T$ 为对应期限的标的期货价格，则有：

$$k_i=log(\frac{K_i}{F_t^T})$$

$$\omega(k_i) = v_i^2 \cdot (T-t)$$

通过上式可得数据集 $\left\{(k_i,\omega_i)\right\}_{i=1,2,...,n}$。我们采用 Quasi-Explicit 方法对 SVI 原式进行最优化拟合，得到最优参数集 $\left\{a^*,b^*,\rho^*,m^*,\sigma^*\right\}$。将最优参数集应用到期权的隐含波动率计算中，进而通过插值的方法便可得到经过校准的波动率曲面。

期权标记价格

定义 Black-76 模型：

$$\mathcal{B}(F^T_t, \sigma, T, t, K, call) = F^T_tN(d_1) - KN(d_2)$$

$$\mathcal{B}(F^T_t, \sigma, T, t, K, put) = KN(-d_2) - F^T_tN(-d_1)$$

其中：

$$d_1 = \frac{\ln(\frac{F^T_t}{K}) + \frac{IV(K,T)^2}{2}\cdot(T - t)}{IV(K,T) \cdot \sqrt{T - t}}$$

$$d_2 = d_1 - IV(K,T)\cdot\sqrt{T - t}$$

我们基于 Black-76 模型框架构建动态调整机制，其中 $\hat{S}^T_t$ 为代理指数价格 (详见附录)，$F^T_t$ 为对应标的期货的标记价格：

$$\mathcal{V}(\hat{S}^T_t,F^T_t,\sigma,T,t,K,call) = \mathcal{B}(F^T_t, \sigma, T, t, K, call) \cdot \frac{\hat{S}^T_t}{F^T_t}$$

$$\mathcal{V}(\hat{S}^T_t,F^T_t,\sigma,T,t,K,put) = \mathcal{B}(F^T_t, \sigma, T, t, K, put) \cdot \frac{\hat{S}^T_t}{F^T_t}$$

示例

Emma 持有一张 BTC-10JAN24-43000-C，当前的代理指数价格为 42,379, 合约对应的标的期货价格为 42,563，距离到期还剩 0.0195 年。假设隐含波动率为 0.353，计算看涨期权价格为：

$$d_1 = \frac{\ln(\frac{42563}{43000}) + \frac{0.353^2}{2}\cdot 0.0195}{0.353\cdot \sqrt{0.0195}} = -0.1827$$

$$d_2 = -0.1827 - 0.353\cdot \sqrt{0.0195} = -0.2319$$

$$\mathcal{V} = (42563 \cdot 0.43 - 43000 \cdot 0.41) \cdot \frac{42379}{42563} = 638$$

平滑标记价格

期货和期权的平滑标记价格 (smooth mark price) 均以代理平滑指数价格 (proxy index price) 计算得到。

对于任意期限 $T$ 的期货，给定 $t$ 时刻的代理平滑指数价格 $\tilde{S}_t^T$：

$$\tilde{F}^T_t = \begin{cases} \tilde{S}_t^T \cdot e^{ABR(T) \cdot (T-t)}, & \text{到期日UTC7:40之前} \\[5pt] F^T_t, & \text{到期日UTC7:40之后} \end{cases}$$

对于任意期限 $T$、行权价 $K$ 的期权，平滑标记价格的计算方法与标记价格基本一致，唯一区别在于计算时需要使用标的期货的平滑标记价格而非标记价格。

希腊值

给定代理指数价格 $\hat{S}^T_t$，标的期货价格 $F^T_t$，行权价 $K$，隐含波动率 $\sigma$，到期日 $T$，当前时间 $t$，便可以通过中心差分法计算不同的希腊值。定义：

$$\delta S = 0.1\% \cdot \hat{S}^T_t$$

$$\delta F = \delta S \cdot \frac{F^T_t}{\hat{S}^T_t}$$

Delta 衡量标的期货价格每变动 $1 对期权价格的影响比率：

$$\Delta = \frac{\mathcal{B}(F^T_t + \delta F,\sigma,T,t,K) - \mathcal{B}(F^T_t - \delta F,\sigma,T,t,K)}{2 \cdot \delta F}$$

Gamma 衡量标的期货价格每变动 $1 对 $\Delta$ 的影响比率：

$$\Gamma = \frac{\mathcal{B}(F^T_t + \delta F,\sigma,T,t,K) + \mathcal{B}(F^T_t - \delta F,\sigma,T,t,K) - 2 \cdot \mathcal{B}(F^T_t,\sigma,T,t,K)}{(\delta F)^2} \cdot \frac{F^T_t}{\hat{S}^T_t}$$

Vega 衡量了隐含波动率 $\sigma$ 每变动 $1\%$ 对期权价格的影响比率：

$$\nu = \frac{\mathcal{B}(F^T_t,\sigma + 0.01,T,t,K) - \mathcal{B}(F^T_t,\sigma - 0.01,T,t,K)}{2} \cdot \frac{\hat{S}^T_t}{F^T_t}$$

Theta 衡量了单位时间（天）期权价格的变化：

$$\Theta = \begin{cases} \mathcal{V}(F^T_t,\sigma,T,T,K) - \mathcal{V}(F^T_t,\sigma,T,t,K), & T \leq \frac{1}{365} \\[5pt] \mathcal{V}(F^T_t,\sigma,T,t+\frac{1}{365},K) - \mathcal{V}(F^T_t,\sigma,T,t,K),& T > \frac{1}{365} \end{cases}$$

附录

代理指数价格

代理指数价格 (proxy index price) 是基于不同到期时间的指数价格，用于期货和期权的定价及到期结算。给定 $t$ 时刻的指数价格 $S_t$ 和 10 分钟的时间加权平均指数价格 $\bar{S}_t$，特定时间区间 $[t_1,t_2]$ 之间的时间加权平均指数价格为 $\bar{S}_{[t_1,t_2]}$：

$$\hat{S}^T_t = \begin{cases} S_t, & \text{到期日UTC7:30之前} \\[5pt] \bar{S}_{[T-30\text{mins}, \min(t,T)]}, & \text{到期日UTC7:30之后} \end{cases}$$

代理平滑指数价格

代理平滑指数价格 (proxy smooth index price) 是基于不同到期时间的平滑指数价格，用于期货和期权的定价及到期结算。

$$\tilde{S}^T_t = \begin{cases} \bar{S}_t & \text{到期日UTC7:40之前} \\[5pt] \bar{S}_{[T-30\text{mins}, \min(t,T)]}, & \text{到期日UTC7:40之后} \end{cases}$$